李表面（Lie theory）新葡京大楼，定名自19世纪的挪威数学家索菲斯·李，是数学和物理学中一个极其紧迫且粗俗诈欺的表面，其根柢观念是李群和李代数。这个表面提供了一个庞杂的框架，用于面目对称性和聚会变换，因此在许多科学鸿沟中都有着粗俗的诈欺，包括量子力学、粒子物理、晶体学和机器东谈主学。本文咱们将深化探讨李表面的基本观念。

当你在谷歌中搜索“李表面”，会出现这张图片，

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它使得该表面看起来比实质上更难。有关词，要是你老练复数，那么你照旧碰到了一个例子，那便是那些于模为1的复数，

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你的本能反映可能是将这些数字视为 e^(i θ)。

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但要是你更深化地想考，实质上是在这个复数圆上施加了一个坐标系统，例如，咱们不错说这少量是 e^(i * 0.7π)，

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这个圆是所谓的李群（Lie group）的一个例子，将在稍后解释，但一般来说，它不错是更高维的，更难以可视化的。李表面的精髓是，即使在这些复杂的情况下，也要尽量施加一个坐标系统，使其更容易搞定。

让咱们略微详备地阐扬李表面，从李群运转。李群同期是两个东西，它是一个群，但亦然一个流形。

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李群-群

最初让咱们了解一下什么是群，因为它是一个更容易的观念。

群基本上是一组昂扬某些属性的对象，使它们看起来具有对称性。咱们盼愿对称性昂扬的第一个属性是顽固性。以正三角形的对称性G为例，咱们将 h 暗示为沿斜轴的反射对称性，g 暗示为沿垂直轴的另一个反射对称性，那么将 g · h 界说为函数组合，即最初作念 h，然后作念 g。事实阐述，g 和 h 组合是一个旋转。恶果不紧迫-紧迫的是恶果仍然是一个对称性，因此它仍然在 G 中。

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但为了使这个公理成立，咱们需要对每对 g 和 h 都阐述这少量。你不错逐一考据这个情况，但证据界说，对称性是任何保捏对象不变的变换。是以新葡京大楼要是 g 和 h 是对称的，它们保捏对象不变，那么天然，先作念 h 然后作念 g 也会保捏对象不变，因此亦然一个对称性。

对称性还罢黜一些其他属性，如“连续律”：

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如存在一个恒等元：

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临了，对称性都有一个逆：

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要是一组对象昂扬这4个条款，它就组成一个群。一个对象的对称性天然地造成一个群。要是给定一组数字或矩阵，比如一运转的复数单元圆，查验该聚拢是否昂扬这些属性是很有必要的。在这种情况下，你只需要使用模数相乘，致使不需要用欧拉公式，

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天然，不单是是这个圆造成了一个群。旋转矩阵的聚拢，正交或酉矩阵都是群，

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要是你对群不太老练，我激烈淡薄你对这些聚拢的群公理进行补习。你所需要的只是转置、伴情切行列式的一些其他属性，

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总之，群只是李表面的一部分。李群亦然流形，那么什么是流形呢？让咱们通过一个例子来意会：复数的圆。

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这个圆是流形，酷爱是在它上头的每少量，其邻域基本上看起来像一条线，只是变形了。让咱们放大这少量的邻域。

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在圆的情况下，这是一个弧，不错平滑地变形为直线。

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但雷同紧迫的是，这条线也不错平滑地变回弧。这种双向变形便是我所说的“看起来像一条线”。天然，不单是是圆上的这一特定点。每个点都有这么的属性，即邻域看起来像一条线。这便是咱们称圆为一维流形（1-dimensional manifold）的原因。

然则还有更高维的流形，酷爱是一样的。

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只是任何点的邻域不再看起来像一条线，而是（在这个圆环的情况下）看起来像一个平面。是以，一个圆环的名义是一个二维流形。一个更奇特的例子是SO（3），三维的旋转。SO（3）看起来像什么呢？

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关于三维旋转，最初要指明旋转轴，然后是绕这个轴的旋转角度θ。咱们不错将这个特定的旋转暗示为流形上的一个点，球是一个实心球。球上的相应点将沿着旋转轴的某处。轴上的位置取决于绕这个轴的旋转角度。例如，这个轴上的点，从中心朝上的θ单元，对应于沿着这个轴的θ旋转。至于处所，使用右手端正。是以这个点在中心上方，意味着使用右手端正的逆时针旋转。临了，咱们将旋转角落拓为π，是以要是你的旋转角跳动π，那么就朝相悖的处所旋转。

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这便是咱们不错从几何上想考SO（3）的式样，但这是一个终点奇怪的几何图形，因为这两个相对的点实质上代表了疏通的旋转：

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毕竟，它们都代表了180度的顺时针或逆时针旋转。你不错把这两个点看作是一个叠加的门，当你朝一个处所旋转得越来越多，况兼跳动了π，那么立即通过门不时朝上行进。

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但这不单是是一双点，球的名义上的每一个地方都是一个门，只是旋转轴不同。

要是听起来很奇怪，那如实是奇怪的，然则，这仍然是一个流形，更具体地说是一个三维流形，这不错在更高的维度中正确地可视化，但必须在5维空间中才调作念到这少量。总的来说，一个n维流形意味着总共的邻域都“看起来像”n维空间。

李群同期是群和流形的举座想想意味着两件事：最初，咱们无须把这些SO(n)和SU(n)地谈地看作一堆矩阵，咱们不错几何地想考它们，尽管在更高维的旋转中，它变得不那么可视化。其次，在这两者的交叉口，咱们不错使用群论的器用和微分几何的器用，这是流形的参议，来参议它们。李最初将李群视为流形。

李代数

地球的名义是流形的另一个例子，天然地球的名义是周折的，然则咱们不错通过施加一个坐标系统（例如经纬度系统）来制作一张平面的舆图。这么，咱们就不错将复杂的周折空间回荡为更容易搞定的平面空间。这是一个将复杂的几何对象（如地球名义）简化为咱们不错更容易搞定的对象（如舆图）的例子。

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李的想想是肖似的。李群是复杂的曲面流形，雷同，咱们要莳植一个坐标系统，一个平的空间来搞定它，阿谁平的空间便是李代数。让咱们用更多的细节证据这少量。在李群是复数圆的情况下，坐标系统由1（恒等元）处的切线组成。

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它的责任旨趣是将切线向量与圆上的点相对应，这口舌常天然的。要是向量的长度是θ，那么咱们将它对应到李群上1处距离θ的一个点。

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实质上，这个向量不错被觉得是iθ，

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这是因为复数不仅是平面上的少量，也不错被觉得是从原点到该点的一个向量，

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是以朝上的向量对应于纯虚数，

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因此，这个朝上的切线向量不错被觉得是iθ。然则咱们说，作为一个坐标系统，切线向量对应于距离恒等元θ的一个点，你知谈这个点是什么吗？这恰是

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这也与更一般的李群和李代数的极端详似。

最初，有一个李群，咱们想找到这个群的恒等元（即1）。一朝完成了这个任务，研讨恒等式处的切空间。这个平的空间是对应的李群的李代数。

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李代数作为坐标系统的责任旨趣是使切空间（即1处的切线）上的切线向量“包装”在李群上，然后取端点。

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这种将切线向量对应到流形上的点的“包装”动作称为指数映射（exponential map）。在这个特定的情况下，向量iθ被包装到李群上的e^(iθ)，是以它实质上是一个指数映射。

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但这种指数映射的观念适用于一般的流形，而不单是是李群。

换句话说，即使关于一般的流形，将切空间上的切线向量映射到流形上的点的动作仍然被称为指数映射，梦想情况下，咱们但愿只使用平的空间，因为它比周折的对象更容易搞定。

这个指数映射，或者实质上，其逆映射，或对数映射，将把流形上的少量规复到平坦空间上的一个切线向量。是以，这是意会李群的第一步。把它四肢流形，咱们想要把李群规复为李代数，通过对数映射，将恒等元处的切空间规复。

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然则，要是咱们把李群四肢群，会如何呢？群公理告诉咱们群元素和点乘应昂扬哪些条款，

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是以咱们留情这么一个群的乘法是如何运算的。

例如来说，有一个李群，其恒等元用红点暗示，对应的李代数，是恒等元处的切空间。中间的红点对应于李群上的恒等元。

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让咱们研讨一双元素g，h，以及它们的乘积g·h。咱们不错用对数映射将总共这些点规复到平坦空间上的切线向量，

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该映射将总共这些点规复到平坦空间上的切线向量。现时，要是只须对应于g和h的这些切线向量，能否不参考李群，就能详情对应于g·h的切线向量呢？

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一个灵活的测度可能是

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但这些g和h是矩阵，它们的乘圭表样与数字不同。

有关词，实质上存在一个公式。要是用X暗示log g，用Y暗示log h，用Z暗示log (g·h)，那么Z不错作为无限级数

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这看起来令东谈主生畏，但不错解析为两个简单的操作：最初，加法或减法。这恰是那些切线向量的加法或减法。其次，这些方括号，被称为李括号（Lie brackets）。现时，你不错将它们视为将两个切线向量变为另一个切线向量的简单但特定的操作。因此，要是咱们还知谈李括号，那么就知谈对应于g·h的切线向量。这个公式，称为Baker-Campbell-Hausdorff公式，简称BCH公式，使咱们大要皆备在李代数上复制群乘法。是以，咱们不错只在李代数上运算，而不是在周折的空间上。

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现时，在李群上，群公理告诉咱们乘法应该昂扬什么，而在李代数上，李括号也会相应地昂扬一些性质。

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现时，这些性质的细节不紧迫，但要知谈，这些李括号的性质频频来自于李群中的乘法性质。识别这些性质是皆备废弃李群，只关注李代数的另一步。因此，尽管咱们底本想参议李群（因为它是一个更通用的结构），但咱们不错转而参议李代数，因为李代数包含了李群的总共紧迫信息，况兼它是一个更简单的结构。如今，大广博教科书将李代数界说为一个具有昂扬总共这些性质的李括号的向量空间，但应值得把稳的是，这些李群是这些性质的紧迫根源。

李表面图示

这引出这个被觉得代表李表面的图示。

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这是什么呢？要是你神话过怪兽群（monster group），它们观念是相似的。关于怪兽群，咱们想要研讨有限群，有限聚拢G，

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这么不错界说昂扬这些公理的乘法。这些有限群不错解析为不同的构建块，被称为简单群（simple groups）。

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这些简单群是有限群的原子，数学家想要对这些构建块进行分类。有许多不同的机制不错产生无限多的简单群。以相似式样产生的构建块被归为一个无限族（infinite families）。然则还有好多可能性，被称为“零碎”群（sporadic groups）。有26或27个，取决于你是否想将其中一个（构建块）缱绻在那些无限族中。

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趁便说一句，这个构建块被称为蒂茨群（Tis group），以法国数学家雅克·蒂茨定名。

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这有点离题，因为这些零碎群的明星是怪兽群，到现时为止是最大的、最复杂的零碎群（这26、27个零碎群中的）。这个分类与对李代数的分类肖似。肖似于群的界说，李代数也有一个昂扬某些性质的李括号。只用这些性质，咱们想要对李代数的构建块进行分类。肖似于群的情况，这些简单李代数有无限的族。这不像群，碰劲只须4个，别离标为A_n, B_n, C_n和D_n。除了这些无限族外，还有碰劲5个被遗漏的，被称为“例外”的李代数，别离标为E_6、E_7、E_8、F_4和G_2。

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E_8是这五个中最复杂的，因此它在某种经由上是李代数中的怪兽群。这个特定的图片是E_8的图示面目：

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是以，即使想要参议李群，咱们也要转而参议李代数，因为总共信息都被保留了，况兼它们更容易参议。